Question

如圖，已知空間四邊形ABCD的邊BC＝AC，AD＝BD，且BE⊥CD于E，AH⊥BE于H，求證：AH⊥平面BCD．

Answer 1

答案：
解析：

　　分析：欲證明AH⊥平面BCD，結(jié)合AH⊥BE，可考慮證明AH⊥CD．

　　證明：取AB的中點(diǎn)F，連接CF，DF．

　　因?yàn)锽C＝AC，所以CF⊥AB．

　　因?yàn)锳D＝BD，所以DF⊥AB．

　　又CF∩DF＝F，所以AB⊥平面CDF．

　　因?yàn)镃D平面CDF，所以CD⊥AB．

　　又CD⊥BE，BE∩AB＝B，所以CD⊥平面ABE．

　　又AH平面ABE，所以CD⊥AH．

　　由已知AH⊥BE，CD∩BE＝E，

　　所以AH⊥平面BCD．

　　點(diǎn)評(píng)：證明線(xiàn)面垂直的轉(zhuǎn)化途徑有兩條：一是利用線(xiàn)面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理．本題運(yùn)用了線(xiàn)面垂直的判定定理．