Question

橢圓E的離心率為，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別是左、右焦點，過F₁的直線與圓相切，且與橢圓E交于A，B兩點，且．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)M為橢圓E上一動點，點N（0，2），求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓E的離心率，化簡方程，設(shè)出切線AB的方程利用直線與圓相切，及弦長公式，即可求橢圓E的方程；
（2）表示出，利用配方法，即可求的最大值．
解答：解：（1）∵橢圓E的離心率為，∴a²=4c²，b²=3c²，
∴橢圓E：
設(shè)切線AB：y=k（x+c），即kx-y+ck=0
∴圓的圓心（-c，-2）到直線kx-y+ck=0的距離d==1
∴k=
∴切線AB為y=（x+c），
將切線方程代入，可得5x²+8cx=0
∴x₁=0，x₂=-
∵，∴|AB|=|x₁-x₂|==，∴c=1
∴橢圓E的方程為；
（2）設(shè)M（x，y），則，=（-≤y≤）
∴==
∵-≤y≤
∴y=-時，的最大值為．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，考查向量模長的計算，屬于中檔題．