數(shù)列
(1)求證:①an<an+1;②1≤an<2;(2)比較的大小,并加以證明.
【答案】分析:(1)①欲比較an與an+1的大小,利用作差比較,然后進配方可判定正負;②直接利用數(shù)學歸納法進行證明即可;
(2)由an+1=,從而,從而求出的值,然后利用作差比較的大小即可.
解答:解:(1)證明:①因為an+1-an=≥0,
當且僅當an=2時,an+1=an
因為a1=1,所以an+1-an>0,即an<an+1(n=1,2,3,…).…(3分)
②因為,由①得an≥1(n∈N*).(i)
下面證明:對于任意n∈N*,有an<2成立.當n=1時,由a1=1,顯然結(jié)論成立.
假設(shè)結(jié)論對n=k(k≥1)時成立,即ak<2.
因為an+1=在x≥1時單調(diào)遞增,
所以ak+1=2.
即當n=k+1時,結(jié)論也成立.
于是,當n∈N*時,有an<2成立.(ii)
根據(jù)(i)、(ii)得1≤an<2.…(9分)
(2)由an+1=,
從而
因為a1=1,所以…(11分)
所以
=
由a1=1及an+1=
所以,當n=1時,;當n=2時,;
當n≥3時,由
…(14分)
點評:本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合,以及利用作差法比較大小,同時考查了計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•奉賢區(qū)二模)已知數(shù)列{an}對任意的n≥2,n∈N*滿足:an+1+an-1<2an,則稱{an}為“Z數(shù)列”.
(1)求證:任何的等差數(shù)列不可能是“Z數(shù)列”;
(2)若正數(shù)列{bn},數(shù)列{lgbn}是“Z數(shù)列”,數(shù)列{bn}是否可能是等比數(shù)列,說明理由,構(gòu)造一個數(shù)列{cn},使得{cn}是“Z數(shù)列”;
(3)若數(shù)列{an}是“Z數(shù)列”,設(shè)s,t,m∈N*,且s<t,求證求證at+m-as+m<at-as

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

    已知函數(shù),數(shù)列滿足

   (1)求證:當時,不等式恒成立;

   (2)設(shè)為數(shù)列的前項和,求證:

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012年高考(江蘇))已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列滿足:,,

(1)設(shè),,求證:數(shù)列是等差數(shù)列;

(2)設(shè),,且是等比數(shù)列,求的值.

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科目:高中數(shù)學 來源:2011屆安徽省皖南八校高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學卷 題型:解答題

(本小題滿分13分)
在數(shù)列。
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項和。

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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年四川省高二10月月考數(shù)學理卷 題型:解答題

(本題滿分12分)

已知數(shù)列,設(shè) ,數(shù)列。

(1)求證:是等差數(shù)列; (2)求數(shù)列的前項和

(3)若一切正整數(shù)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍。

 

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