Question

（1）m為何值時(shí)，f（x）=x²+2mx+3m+4．有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)f（x）=|4x-x²|+a有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)一元二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系，利用判別式△=0，即可得到結(jié)論．
（2）利用數(shù)形結(jié)合將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=x²+2mx+3m+4有且僅有一個(gè)零點(diǎn)?方程f（x）=0有兩個(gè)相等實(shí)根
?△=0，
即4m²-4（3m+4）=0，
即m²-3m-4=0，∴m=4或m=-1．
（2）令f（x）=0，得|4x-x²|+a=0，
即|4x-x²|=-a．
令g（x）=|4x-x²|，h（x）=-a．
作出g（x）、h（x）的圖象．
由圖象可知，當(dāng)0＜-a＜4，
即-4＜a＜0時(shí)，g（x）與h（x）的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，
即f（x）有4個(gè)零點(diǎn)．
故a的取值范圍為（-4，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷以及函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．