Question

1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且csinA=$\sqrt{3}$acosC
（1）求角C的值；
（2）若a=8，c=7，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡csinA=$\sqrt{3}$acosC．求出tanC=$\sqrt{3}$，進而可求C．
（2）利用余弦定理可求b的值，根據三角形面積公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）在△ABC中，∵csinA=$\sqrt{3}$acosC，
∴由正弦定理得  sinCsinA=$\sqrt{3}$sinAcosC，…3分
∵0＜A＜π，
∴sinA＞0．從而sinC=$\sqrt{3}$cosC，
又∵cosC≠0，
∴tanC=$\sqrt{3}$，可得：C=$\frac{π}{3}$，…5分
（2）由（1）可得C=$\frac{π}{3}$，a=8，c=7，
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=64+b²-2×$8bcos\frac{π}{3}$=49，
∴b=3，或b=5，…8分
∴當b=3時，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=6$\sqrt{3}$；
當b=5時，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=10$\sqrt{3}$．…10分．

點評 本題主要考查三角形的有關知識，考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式、三角函數的最值的應用，是常考題型，屬于中檔題．