某公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計(jì)生產(chǎn)一種長(zhǎng)方形薄板，其周長(zhǎng)為4米，這種薄板須沿其對(duì)角線折疊后使用．如圖所示，ABCD（AB＞AD）為長(zhǎng)方形薄板，沿AC折疊后，AB折痕為AB′，AB′交DC于點(diǎn)P，當(dāng)凹多邊形ACB′PD的面積最大時(shí)制冷效果最好．
（1）設(shè)AB=x米，用x表示圖中DP的長(zhǎng)度，并寫出x的取值范圍；
（2）若要求制冷效果最好，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長(zhǎng)和寬？
考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）由題意，設(shè)DP=y，則PC=x-y．因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y．由  PA2=AD2+DP2，代入即可求出；
（2）記△ADP的面積為S，則S=
1
2
x（2-x）+（1-
1
x
）（2-x）=3-
1
2
（x2+
4
x
）（1＜x＜2）求出當(dāng)x=
32
時(shí)，S取得最大值，從而求出長(zhǎng)和寬．
解答： 解：（1）由題意，AB=x，BC=2-x．因x＞2-x，故1＜x＜2，
設(shè)DP=y，則PC=x-y．
因△ADP≌△CB′P，故PA=PC=x-y．
由  PA2=AD2+DP2，
得  （x-y）2=（2-x）2+y2⇒y=2（1-
1
x
）（1＜x＜2）．
（2）記△ADP的面積為S，則
S=
1
2
x（2-x）+（1-
1
x
）（2-x）=3-
1
2
（x2+
4
x
）（1＜x＜2）
于是，S′=
1
2
（2x-
4
x2
）=
-x3+2
x2
=0⇒x=
32
，
關(guān)于x的函數(shù)S在（1，
32
）上遞增，在（
32
，2）上遞減．
所以當(dāng)x=
32
時(shí)，S取得最大值
故當(dāng)薄板長(zhǎng)為
32
米，寬為2-
32
米時(shí)，制冷效果最好．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的求法，自變量的取值范圍，考查求函數(shù)的最值問(wèn)題，是一道綜合題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A={1，-2，-3，4}，B={x|x=|n|，n∈A}，則A∩B=（　　）
A、{1，-2}
B、{-2，-3}
C、{2，3}
D、{1，4}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在如圖所示的程序框圖中輸入n=3，結(jié)果會(huì)輸出（　　）
A、2B、4C、6D、8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

把邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去邊長(zhǎng)為xcm的相等的正方形，然后折成一個(gè)高度為xcm的無(wú)蓋的長(zhǎng)方體的盒子，問(wèn)x取何值時(shí)，盒子的容積最大，最大容積是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一條漸近方程是y=
3
x，它的一個(gè)焦點(diǎn)是（4，0），求雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)g（x）=
1
3
x3+
1
2
ax2+bx+c（a，b∈R）的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，在其圖象上一點(diǎn)P（x，y）處的切線的斜率記為f（x）．
（Ⅰ）若方程f（x）=0有兩個(gè)實(shí)根分別為-2和4，求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a2+b2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

我市某校某數(shù)學(xué)老師這學(xué)期分別用m，n兩種不同的教學(xué)方式試驗(yàn)高一甲、乙兩個(gè)班（人數(shù)均為60人，入學(xué)數(shù)學(xué)平均分和優(yōu)秀率都相同，勤奮程度和自覺(jué)性都一樣）．現(xiàn)隨機(jī)抽取甲、乙兩班各20名的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)，并作出莖葉圖如圖所示．
（Ⅰ）依莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均分高？
（Ⅱ）現(xiàn)從甲班所抽數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)，用ξ表示抽到成績(jī)?yōu)?6分的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）學(xué)校規(guī)定：成績(jī)不低于85分的為優(yōu)秀，作出分類變量成績(jī)與教學(xué)方式的2×2列聯(lián)表，并判斷“能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)？”
下面臨界值表僅供參考：
P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
（參考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正項(xiàng)數(shù)列{xn}滿足xn+
1
xn+1
＜2（n∈N*）．
（1）證明：xn+
1
xn
≥2；
（2）證明：xn＜xn+1；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：xn＞
n-1
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1=f（x-1），a2=3，a3=f（x+1），其中f（x）=x2-4x+2（x≠0）
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（Ⅱ）求數(shù)列{
an
2n
}的前n項(xiàng)和Tn．

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