Question

如圖，幾何體A₁C₁-ABC中，四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，且面AA₁C₁C⊥面ABCAA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，O是AC中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直線BC₁與底面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由AA₁=A₁C=AC，知△AA₁C是等邊三角形，由O是AC中點(diǎn)，知A₁O⊥AC，由此能夠證明A₁O⊥面ABC．
（2）作C₁E⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE，則C₁E∥A₁O，從而得到C₁E⊥面ABC，∠C₁BE就是直線BC₁與底面ABC所成角．由此能求出直線BC₁與底面ABC所成角的正弦值．

解答：（1）證明：∵AA₁=A₁C=AC，∴△AA₁C是等邊三角形，
∵O是AC中點(diǎn)，∴A₁O⊥AC，
∵AC是面AA₁C₁C和面ABC的交線，且面AA₁C₁C⊥面ABC，
又∵A₁O?面AA₁C₁C，
∴A₁O⊥面ABC．
（2）解：作C₁E⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE，
則C₁E∥A₁O，∴C₁E⊥面ABC，
∴∠C₁BE就是直線BC₁與底面ABC所成角．
∵四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，且面AA₁C₁C⊥面ABC，
AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，O是AC中點(diǎn)．
∴C₁E=A₁O=

3

，AB=BC=

2

，
∴C₁O=

22+( 3 )2

=

7

，BO=1，
∴BC₁=

( 7 )2+1

=2

2

，
∴sin∠C₁BE=

C1E

BC1

=

2

2 2

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．