Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2＋clnx，且g(x)在點(1，g(1))處的切線方程為2y－1＝0.

(1)求g(x)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)G(x)＝若方程G(x)＝a2有且僅有四個解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）g(x)＝x2－lnx（2）

【解析】(1)g′(x)＝2bx＋ 由條件，得即∴b＝，c＝－1，

∴g(x)＝x2－lnx.

(2)G(x)＝

當x＞0時，G(x)＝g(x)＝x2－lnx，g′(x)＝x－＝.

令g′(x)＝0，得x＝1，且當x∈(0，1)，g′(x)＜0，x∈(1，＋∞)，g′(x)＞0，

∴g(x)在(0，＋∞)上有極小值，即最小值為g(1)＝.

當x≤0時，G(x)＝f(x)＝ax3－3ax，f′(x)＝3ax2－3a＝3a(x＋1)(x－1)．

令f′(x)＝0，得x＝－1.①若a＝0，方程G(x)＝a2不可能有四個解；

②若a＜0時，當x∈(－∞，－1)，f′(x)＜0，當x∈(－1，0)，f′(x)＞0，∴f(x)在(－∞，0]上有極小值，即最小值為f(－1)＝2a.又f(0)＝0，∴G(x)的圖象如圖①所示，從圖象可以看出方程G(x)＝a2不可能有四個解；

,①)　　,②)

③若a＞0時，當x∈(－∞，－1)，f′(x)＞0，當x∈(－1，0)，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0]上有極大值，即最大值為f(－1)＝2a.又f(0)＝0，∴G(x)的圖象如圖②所示．從圖象可以看出方程G(x)＝a2若有四個解，必須＜a2＜2a，∴＜a＜2.綜上所述，滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是