Question

設(shè)Q是曲線T：xy=1（x＞0）上任意一點，l是曲線T在點Q處的切線，且l交坐標(biāo)軸于A，B兩點，則△OAB的面積（O為坐標(biāo)原點）（　�。�

• A、為定值2
• B、最小值為3
• C、最大值為4
• D、與點Q的位置有關(guān)

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)P（x₀，y₀）為曲線T：y=

1

x

（x＞0）上任一點，過點Q作曲線C的切線l，利用導(dǎo)數(shù)可求得切線l的斜率及方程，從而可求得l與兩坐標(biāo)軸交于A，B兩點的坐標(biāo)，繼而可求△OAB的面積．

解答： 解：設(shè)P（x₀，y₀）為曲線T：y=

1

x

（x＞0）上任一點，則y₀=

1

x0

．
設(shè)過曲線C：y=

1

x

上一點Q的切線l的斜率為k，
∵y′=-

1

x2

，∴k=-

1

x02

，
∴切線l的方程為：y-y₀=-

1

x02

（x-x₀），
∴當(dāng)x=0時，y=

1

x0

+y₀=

2

x0

，即B（0，

2

x0

）；
當(dāng)y=0時，x=y₀•x₀²+x₀=2x₀，即A（2x₀，0）；
∴S_△OAB=

1

2

|OA|•|OB|=

1

2

×|2x₀|•|

2

x0

|=2．
故選：A．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求過曲線T：xy=1（x＞0）上一點P的切線l的斜率，考查直線的方程及截距，考查三角形的面積公式，屬于中檔題．