Question

已知(

x

-

2

x2

)n的展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為1024．
（1）求n的值；
（2）求展開式中的常數(shù)項；
（3）求展開式中含有理項的個數(shù)．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：計算題,二項式定理

分析：（1）所有項的二項式系數(shù)之和為1024，即為2ⁿ=1024，解得即可；
（2）求出通項公式，化簡整理，再令x的指數(shù)為0，即可得到常數(shù)項；
（3）考慮通項公式中，x的指數(shù)為偶數(shù)的情況，即可得到個數(shù)．

解答： 解：（1）所有項的二項式系數(shù)之和為1024，
即為2ⁿ=1024，解得，n=10；
（2）(

x

-

2

x2

)n的展開式的通項為T_r+1=

C

r 10

(

x

)10-r(

-2

x2

)r
=

C

r 10

(-2)rx

10-5r

2

，
令

10-5r

2

=0，則r=2，
則常數(shù)項為：

C

2 10

(-2)2=180；
（3）有理項即為

10-5r

2

為整數(shù)，
則r=0，2，4，6，8，10．
故有6個有理項．

點評：本題考查二項式定理及運用，考查二項式系數(shù)的性質和二項式展開式的通項公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．