分析:(I)根據(jù)已知中的函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式,進(jìn)而分0<a<1,a=0,-1<a<0,a≤-1四種情況,分別討論導(dǎo)函數(shù)取正值,和導(dǎo)函數(shù)取負(fù)值的區(qū)間,即可判斷出函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)由( I)中結(jié)論可得a=-1時(shí),f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,即x∈(0,+∞)時(shí),由f(x)<f(0)=0,即ln(1+x
2)<x,對(duì)原不等式兩邊取自然對(duì)數(shù),利用放縮法,可得原不等式左邊滿足
ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)<++…+==(1-)<,進(jìn)而可得原不等式成立.
解答:解:( I)∵
f′(x)=+a=①若a=0時(shí),
∵
f′(x)=>0⇒x>0,f′(x)<0⇒x<0∴f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,在(-∞,0)單調(diào)遞減;
②若0<a<1時(shí),
f′(x)>0⇒ax
2+2x+a>0
⇒x<或x>.
∴f(x)在
(,)單調(diào)遞減,在
(-∞,)和
(,+∞)上單調(diào)遞增.
③若
⇒a≤-1時(shí),
f'(x)≤0對(duì)x∈R恒成立,
∴f(x)在R上單調(diào)遞減;
④若-1<a<0時(shí),
由f′(x)>0⇒ax
2+2x+a>0
⇒<x<再令f′(x)<0,可得
x>或
x<,
∴f(x)在
(,)單調(diào)遞增,在
(-∞,)和
(,+∞)上單調(diào)遞減
綜上所述,
若a≤-1時(shí),f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減.;
若-1<a<0時(shí),f(x)在
(,)單調(diào)遞增,在
(-∞,)上單調(diào)遞減,
(,+∞)上單調(diào)遞減
若a=0時(shí),f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,在(-∞,0)單調(diào)遞減
若0<a<1時(shí),f(x)在
(,)單調(diào)遞減,在
(-∞,)和
(,+∞)上單調(diào)遞增.
( II)由( I)知,當(dāng)a=-1時(shí),f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),由f(x)<f(0)=0
∴l(xiāng)n(1+x
2)<x,
∴
ln(1+)(1+)…(1+)<ln[(1+)(1+)…(1+)]=
ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)<++…+==(1-)<;
∴
(1+)(1+)…(1+)<.命題得證.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),放縮法證明不等式,(I)中分類較多,難度較大,而(II)的證明既要利用函數(shù)的單調(diào)性,又要使用放縮法,難度也比較大.