已知函數(shù)f(x)=ln(1+x2)+ax(a<1).
(Ⅰ) 討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ) 證明:(1+
1
2×9
)(1+
1
3×81
)…(1+
1
(n+1)×32n
)<
e
(n∈N*).
分析:(I)根據(jù)已知中的函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式,進(jìn)而分0<a<1,a=0,-1<a<0,a≤-1四種情況,分別討論導(dǎo)函數(shù)取正值,和導(dǎo)函數(shù)取負(fù)值的區(qū)間,即可判斷出函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)由( I)中結(jié)論可得a=-1時(shí),f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,即x∈(0,+∞)時(shí),由f(x)<f(0)=0,即ln(1+x2)<x,對(duì)原不等式兩邊取自然對(duì)數(shù),利用放縮法,可得原不等式左邊滿足ln(1+
1
9
)+ln(1+
1
81
)+…+ln(1+
1
32n
)
1
3
+
1
32
+…+
1
3n
=
1
3
(1-
1
3n
)
1-
1
3
=
1
2
(1-
1
3n
)<
1
2
,進(jìn)而可得原不等式成立.
解答:解:( I)∵f(x)=
2x
1+x2
+a=
ax2+2x+a
1+x2

①若a=0時(shí),
f(x)=
2x
1+x2
>0⇒x>0,f(x)<0⇒x<0

∴f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,在(-∞,0)單調(diào)遞減;
②若0<a<1時(shí),
f′(x)>0⇒ax2+2x+a>0⇒x<
-1-
1-a2
a
或x>
-1+
1-a2
a

∴f(x)在(
-1-
1-a2
a
,
-1+
1-a2
a
)
單調(diào)遞減,在(-∞,
-1-
1-a2
a
)
(
-1+
1-a2
a
,+∞)
上單調(diào)遞增.
③若
a<0
△≤0
⇒a≤-1
時(shí),
f'(x)≤0對(duì)x∈R恒成立,
∴f(x)在R上單調(diào)遞減;
④若-1<a<0時(shí),
由f′(x)>0⇒ax2+2x+a>0
-1+
1-a2
a
<x<
-1-
1-a2
a

再令f′(x)<0,可得x>
-1-
1-a2
a
x<
-1+
1-a2
a
,
∴f(x)在(
-1+
1-a2
a
-1-
1-a2
a
)
單調(diào)遞增,在(-∞,
-1+
1-a2
a
)
(
-1-
1-a2
a
,+∞)
上單調(diào)遞減
綜上所述,
若a≤-1時(shí),f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減.;
若-1<a<0時(shí),f(x)在(
-1+
1-a2
a
,
-1-
1-a2
a
)
單調(diào)遞增,在(-∞,
-1+
1-a2
a
)
上單調(diào)遞減,(
-1-
1-a2
a
,+∞)
上單調(diào)遞減
若a=0時(shí),f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,在(-∞,0)單調(diào)遞減
若0<a<1時(shí),f(x)在(
-1-
1-a2
a
,
-1+
1-a2
a
)
單調(diào)遞減,在(-∞,
-1-
1-a2
a
)
(
-1+
1-a2
a
,+∞)
上單調(diào)遞增.
( II)由( I)知,當(dāng)a=-1時(shí),f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),由f(x)<f(0)=0
∴l(xiāng)n(1+x2)<x,
ln(1+
1
2×9
)(1+
1
3×81
)…(1+
1
(n+1)×32n
)<ln[(1+
1
9
)(1+
1
81
)…(1+
1
32n
)]
=ln(1+
1
9
)+ln(1+
1
81
)+…+ln(1+
1
32n
)
1
3
+
1
32
+…+
1
3n
=
1
3
(1-
1
3n
)
1-
1
3
=
1
2
(1-
1
3n
)<
1
2

(1+
1
2×9
)(1+
1
3×81
)…(1+
1
(n+1)×32n
)<
e
.命題得證.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),放縮法證明不等式,(I)中分類較多,難度較大,而(II)的證明既要利用函數(shù)的單調(diào)性,又要使用放縮法,難度也比較大.
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已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
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(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對(duì)任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問:當(dāng)x≥e時(shí),對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為(  )

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已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
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已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對(duì)稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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