Question

已知數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=3a_n+2n-1（n∈N^*）．
（1）求證數列{a_n+n}是等比數列，并求a_n
（2）若數列{b_n}中1＞₂=6，前n項和為T_n，且9^T_n-a=（a_n+n）^b_n（n∈N^*），求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

解：（1）由題設得a_n+1+（n+1）=3（a_n+n）∵a₁+1=3　　
∴{a_n+n}是首項為3，公比為3的等比數列，
∴an+n=3ⁿ
∴an=3ⁿ-n
（2）∵9^T_n-a=（a_n+n）^b_n（n∈N^*），即3^2T_n-2n=3^nb_n
∴2T_n-2n=nb_n ①
由①得2T_n+1-2（n+1）=（n+1）b_n+1 ②，
②-①得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0 ③
由③得nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0 ④
④-③得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0
∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n
∴{b_n}是等差數列
由9^b1-1=3^b1 得b₁=2，又∵b₂=6
∴公差d=4
∴b_n=b₁+（n-1）d=4n-2
分析：（1）利用構造法求通項公式，將a_n+1=3a_n+2n-1寫成a_n+1+（n+1）=3（a_n+n）即可證明數列{a_n+n}是等比數列，進而求得通項公式；
（2）首先將an的通項公式代入9^T_n-a=（a_n+n）^b_n整理得到2T_n-2n=nb_n 然后求出當n=n+1時的式子，再兩式相減，求得b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n判斷出{b_n}是等差數列；由
由9^b1-1=3^b1 得b₁=2，進而求出公差，即可得到通項公式．
點評：本題考查了數列的遞推式和數列的通項公式，此題采用了構造法求通項公式，難度較大，屬于難題．