如圖，四邊形是正方形，，，， ．

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若與所成的角為，求二面角的余弦值．

①見解析②

解析試題分析：（I）要證面面垂直,只要證明線面垂直,只要證明線線垂直:即找到直線（II）由于選取 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,由于底面直角梯形只有上下底邊的關(guān)系,直角腰邊長 需要用 成 角這個等式確定的,進(jìn)一步計算出多面體頂點(diǎn)坐標(biāo),利用空間向量計算出兩個平面的法向量,再求二面角的余弦值.
試題解析：（I）平面，且平面，
，
又是正方形，，而梯形中與相交，
平面，
又平面，
平面平面             4分

（II）平面，則，，
又，，，
以點(diǎn)為原點(diǎn)，依次為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)，.
則，，，
，　  ．6分
，，　
由與所成的角為，
得
解得．    ．8分
 ，，
求得平面的一個法向量是
；    ．．9分
，，
求得平面的一個法向量是；    ．．10分
則，    ．．11分
故二面角的余弦值為     ．12分
（其他做法參照給分）
考點(diǎn)：1.線面位置關(guān)系垂直的判定與性質(zhì);2.空間向量;3.異面直線成角;4二面角.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，平面底面．

（I） 證明：平面；
（II）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，曲線在處的切線過點(diǎn).
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)時，求的取值范圍.

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已知直角梯形中，是邊長為2的等邊三角形，．沿將折起，使至處，且；然后再將沿折起，使至處，且面面，和在面的同側(cè)．

(Ⅰ) 求證：平面；
(Ⅱ) 求平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值．

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如圖，已知矩形中，為的中點(diǎn)，沿將三角形折起，使.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

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如圖，在三棱錐中，，，，設(shè)頂點(diǎn)A在底面上的射影為R．
（Ⅰ）求證: ；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在棱上，且，試求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱柱中， 是上的點(diǎn)且為中邊上的高.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)，使平面？說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知是正方形，⊥面,且，是側(cè)棱的中點(diǎn).

（1）求證∥平面；
（2）求證平面平面；
（3）求直線與底面所成的角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱平面，且， 為底面對角線的交點(diǎn)，分別為棱的中點(diǎn)

（1）求證：//平面；
（2）求證：平面；
（3）求點(diǎn)到平面的距離。

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