如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為矩形,PA=AB=2,AD=2AB,PA⊥平面ABCD,E,F(xiàn)分別是BC,PC的中點.
(1)求異面直線PB與AC所成的角的余弦值;
(2)求三棱錐A-EFD的體積.

解:(1)分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則
P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),
,….(4分)
所成的角為θ,則,….(6分)
∴異面直線PB與AC所成角的余弦值為.….(8分)
(2)∵F是PC中點,∴F(1,2,1),可得F到平面AED的距離為1
又∴△AED的面積S=S矩形ABCD==4
∴三棱錐A-EFD的體積VA-EFD=VF-AED=S△AED×1=.…(14分)
分析:(1)分別以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,得到向量,的坐標,利用空間兩個向量夾角公式,可計算出異面直線PB與AC所成的角的余弦值;
(2)由點F是PC中點,得F到平面AED的距離為PA長度的一半,從而得到三棱錐F-AED的高,算出△AED的面積S結(jié)合錐體的體積公式,可算出三棱錐F-AED的體積,即三棱錐A-EFD的體積.
點評:本題給出特殊的四棱錐,求異面直線所成角余弦值并求錐體的體積,著重考查了用空間向量求直線間的夾角、線面垂直的性質(zhì)和錐體的體積公式等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖:已知四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中點,
求證:
(1)PC∥平面EBD.
(2)平面PBC⊥平面PCD.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分別是BC、PC的中點.
(1)證明:AE⊥PD;
(2)設AB=2,若H為線段PD上的動點,EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
,求AP的長度.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形,∠BCD=60°,PD⊥AD.點E是BC邊上的中點.
(1)求證:AD⊥面PDE;
(2)若二面角P-AD-C的大小等于60°,且AB=4,PD=
8
3
3
;①求VP-ABED; ②求二面角P-AB-C大小.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•崇明縣二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,E、F分別是BC,PC的中點,AB=2,AP=2.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角E-AF-C的大小.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•吉林二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PA⊥面ABCD,且PA=AD=2,點M,N分別在PD,PC上,
PN
=
1
2
NC
,PM=MD.
(Ⅰ) 求證:PC⊥面AMN;
(Ⅱ)求二面角B-AN-M的余弦值.

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