Question

已知函數(shù)f（x）=x²+a|lnx-1|（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值；
（2）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，求f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1，x∈[1，e]時(shí)，f（x）=x²-lnx+1，f′（x）=2x-

1

x

≥f′（1）=1，由此能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值．
（2）利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）的最小值．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1，x∈[1，e]時(shí)，f（x）=x²-lnx+1，
f′（x）=2x-

1

x

≥f′（1）=1，
所以f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，所以f（x）_max=f（e）=e²．
（2）①當(dāng)x≥e時(shí)，f（x）=x²+alnx-a，
f′(x)=2x+

a

x

，
∵a＞0，∴f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在[e，+∞）上為增函數(shù)，故當(dāng)x=e時(shí)，ymin=f(e)=e2；
②當(dāng)1≤x≤e時(shí)，f（x）=x²-alnx+a，f′(x)=2x-

a

x

=

2

x

(x+

a 2

)(x-

a 2

)．
（i）當(dāng)

a 2

≤1，即0＜a≤2時(shí)，f′（x）在（1，e）上為正數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間[1，e）上為增函數(shù)，
故當(dāng)x=1時(shí)，y_min=1+a，且此時(shí)1+a，f（1）＜f（e）=e²．
（ii）當(dāng)1＜

a 2

＜e，即2＜a＜2e²時(shí)，
f′（x）在（1，

a 2

）上小于0，在（

a

2

，e）上大于0，
∴f（x）在區(qū)間（1，

a 2

）上為減區(qū)間，在（

a

2

，e）上為增函數(shù)，
故當(dāng)x=

a 2

時(shí)，y_min=

3a

2

-

a

2

ln

a

2

，
且此時(shí)f（

a 2

）＜f（e）=e²．
（iii）當(dāng)

a 2

≥e，即a≥2e²時(shí)，f′（x）在（1，e）上為負(fù)數(shù)．
所以f（x）在（1，e）上為減函數(shù)，故當(dāng)x=e時(shí)，y_min=f（e）=e²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最大值的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．