Question

已知,
設(shè).
(Ⅰ)求的表達(dá)式；
(Ⅱ)若函數(shù)和函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
（ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)l的取值范圍.

Answer 1

Ⅰ)；（Ⅱ）函數(shù)的解析式為= -sin²x+2sinx ；
（Ⅲ）。

解析試題分析：（Ⅰ)
   4分
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的圖象上任一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為
則,  .5分
∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上
,即
∴函數(shù)的解析式為= -sin²x+2sinx      7分
（Ⅲ）
設(shè)   9分
則有
當(dāng)時(shí)，(t)=4t+1在[-1,1]上是增函數(shù)，∴λ= -1   11分
當(dāng)時(shí)，對稱軸方程為直線.
ⅰ) 時(shí)，，解得
ⅱ)當(dāng)時(shí)，,解得
綜上:.
實(shí)數(shù)l的取值范圍為  14分
考點(diǎn)：本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，三角函數(shù)和差倍半公式的應(yīng)用，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)。
點(diǎn)評：典型題，為研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，往往需要將函數(shù)“化一”，這是常考題型。首先運(yùn)用“三角公式”進(jìn)行化簡，為進(jìn)一步解題奠定了基礎(chǔ)。（3）小題利用“換元思想”，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在閉區(qū)間的單調(diào)性研究問題，根據(jù)圖象對稱軸受到的限制，求得實(shí)數(shù)l的取值范圍。