Question

求征：m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(m-1)x+(2m-1)y=m-5必過定點(diǎn).

Answer 1

解析：分析1：由于m為任意實(shí)數(shù)，直線方程表示直線系，任取m的兩個(gè)值，可得直線系中的兩條直線，這兩條直線的交點(diǎn)即是直線系過的定點(diǎn).

證明：取m=1時(shí)，直線方程為y=-4.        ①

取m=時(shí)，直線方程為x=9.              ②

顯然，直線①，②的交點(diǎn)為P(9，-4).

把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入原直線系方程的左端，得

(m-1)x+(2m-1)y=(m-1)·9-(2m-1)·4=m-5,

故不論m為何實(shí)數(shù)，點(diǎn)P(9，-4)總在直線系(m-1)x+(2m+1)y=m-5上.

即此直線過定點(diǎn)P(9，-4).

分析2：m為任意實(shí)數(shù)，則方程(m-1)x+(2m-1)y=m-5是對(duì)m而言的恒等式，根據(jù)恒等式定理，由m的一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)均等于零，就可得到直線系通過的定點(diǎn)坐標(biāo).

證明:將原方程按m的降冪排列，整理得

(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,

此式對(duì)于m的任意實(shí)數(shù)值都成立，根據(jù)恒等式的要求，m的一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)均等于零，故有

解得

∴m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，所給直線必通過定點(diǎn)(9，-4).