Question

3．已知圓C：x²+y²-4x-6y+9=0及直線l：2mx-3my+x-y-1=0（m∈R）
（1）證明：不論m取何值，直線l與圓C恒相交；
（2）求直線l被圓C截得的弦長最短時的直線方程．

Answer 1

分析 （1）由l：2mx-3my+x-y-1=0得m（2x-3y）+x-y-1=0，所以直線l總過定點P（3，2），判斷點P（3，23）在圓內，即可證明結論；
（2）當直線l過定點P（3，2）且垂直于過點P的圓C的半徑時，l被截得的弦長|AB|最短．

解答 解：由x²+y²-4x-6y+9=0得（x-2）²+（y-3）²=4
∴圓C的圓心為（2，3），半徑為2…（2分）
（1）證明：由l：2mx-3my+x-y-1=0得m（2x-3y）+x-y-1=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴不論m取何值，直線l恒過點P（3，2）…．（4分）
∵3²+2²-12-12+9=-2＜0，
∴點P（3，2）在圓C內
所以不論m取何值，直線l與圓C恒相交…．（6分）
（2）當直線l垂直CP時，直線l被圓C截得的弦長最短，
∵k_CP=-1，
所以所求的直線方程為y=x-1…．（12分）

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查弦長的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．