Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，∠BPC=θ，則當△AEF的面積最大時，tanθ的值為（　�。�

• A．2
• B．

  1

  2

• C．

  2

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：等腰Rt△PAB中，算出AE=PE=BE=

1

2

PB=

2

．由線面垂直的判定與性質(zhì)，證出PB⊥面AEF，得PB⊥EF．在Rt△PEF中算出EF=

2

tanθ，在Rt△AEF中，算出AF=

2-2tan2θ

，可得S_△AEF=

1

2

AF•EF=

-(tan2θ- 1 2 )2+ 1 4

 ，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出當且僅當tanθ=

2

2

時S_△AEF有最大值，可得答案．

解答：解：在Rt△PAB中，PA=AB=2，∴PB=2

2

，
∵AE⊥PB，∴AE=

1

2

PB=

2

，∴PE=BE=

2

．
∵PA⊥底面ABC，得PA⊥BC，AC⊥BC，PA∩AC=A
∴BC⊥平面PAC，可得AF⊥BC
∵AF⊥PC，BC∩PC=C，∴AF⊥平面PBC
∵PB?平面PBC，∴AF⊥PB
∵AE⊥PB且AE∩AF=A，∴PB⊥面AEF，
結(jié)合EF?平面AEF，可得PB⊥EF．
Rt△PEF中，∠EPF=θ，可得EF=PE•tanθ=

2

tanθ，
∵AF⊥平面PBC，EF?平面PBC．∴AF⊥EF．
∴Rt△AEF中，AF=

AE2-EF2

=

2-2tan2θ

，
∴S_△AEF=

1

2

AF•EF=

1

2

×

2

tanθ×

2-2tan2θ

=

-(tan2θ- 1 2 )2+ 1 4

 
∴當tan²θ=

1

2

，即tanθ=

2

2

時，S_△AEF有最大值為

1

2

故選：D

點評：本題著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、解直角三角形、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和最值討論等知識點，屬于中檔題．同時考查了空間想象能力、計算能力和邏輯推理能力，是一道綜合性較強的題．