Question

【題目】如圖，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分別是棱BC，B1C1上的動點，且EF∥CC1，CD＝DD1＝1，AB＝2，BC＝3.

（1）證明：無論點E怎樣運動，四邊形EFD1D都為矩形；

（2）當EC＝1時，求幾何體A﹣EFD1D的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

先利用面面平行的性質定理,判斷出四邊形EFD1D為平行四邊形,再證明其鄰邊互相垂直即可；

連接AE,根據(jù)條件,結合直四棱柱的幾何特征和勾股定理,判斷出為四棱錐A﹣EFD1D的高,根據(jù),計算出四棱錐A﹣EFD1D的底面積和高,代入體積公式求解即可.

（1）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1∥CC1，

∵EF∥CC1，∴EF∥DD1，

又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

平面ABCD∩平面EFD1D＝ED，

平面A1B1C1D1∩平面EFD1D＝FD1，

∴ED∥FD1，∴四邊形EFD1D為平行四邊形，

∵側棱DD1⊥底面ABCD，又DE平面ABCD內，

∴DD1⊥DE，∴四邊形EFD1D為矩形；

（2）證明：連接AE，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1為直四棱柱，

∴側棱DD1⊥底面ABCD，又AE平面ABCD內，

∴DD1⊥AE，

在Rt△ABE中，AB＝2，BE＝2，則；

在Rt△CDE中，EC＝1，CD＝1，則；

在直角梯形中ABCD，；

∴AE2+DE2＝AD2，即AE⊥ED，

又∵ED∩DD1＝D，∴AE⊥平面EFD1D；

由（1）可知，四邊形EFD1D為矩形，且，DD1＝1，

∴矩形EFD1D的面積為，

∴幾何體A﹣EFD1D的體積為.