Question

設函數f（x）=x³-6x+5，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=a有3個不同實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函數的導數，然后根據導數與單調區(qū)間的關系確定函數的單調區(qū)間，（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向，可知函數圖象的變化情況，可知方程f（x）=a有3個不同實根，求得實數a的值．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=3(x2-2)，令f′(x)=0，得x1=-

2

，x2=

2

∴當x＜-

2

或x＞

2

時f′(x)＞0，當-

2

＜x＜

2

時，f′(x)＜0，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是(-∞，-

2

)和(

2

，+∞)，單調遞減區(qū)間是(-

2

，

2

)
當x=-

2

，f(x)有極大值5+4

2

；當x=

2

，f(x)有極小值5-4

2

（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向，
∴當5-4

2

＜a＜5+4

2

時，直線y=a與y=f(x)的圖象有3個不同交點，
即方程f（x）=α有三解．

點評：考查利用導數研究函數的單調性和圖象，體現了數形結合的思想方法．本題是一道含參數的函數、導數與方程的綜合題，需要對參數進行分類討論．屬中檔題．