Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)，，求使恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（I）；（Ⅱ） .

【解析】

試題分析：（I）首先由求得.為了求得通項(xiàng)公式，應(yīng)由消去推得 的遞推公式：，即，顯然這是一個(gè)等比數(shù)列，由此可得其通項(xiàng)公式.

（Ⅱ）首先將化簡(jiǎn)：，顯然用裂項(xiàng)法可求得： .

不等式對(duì)任意恒成立，也就是恒成立，所以.

設(shè)，下面就來(lái)求其最大值.求數(shù)列的最值，首先研究數(shù)列的單調(diào)性.研究數(shù)列的單調(diào)性，一般考查相鄰兩項(xiàng)的差的符號(hào).，由此可知，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增.所以最大，從而.

試題解析：（I）由可得， 1分

∵， ∴，

∴，即， 3分

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，∴． 5分

（Ⅱ） 7分

∴ 8分

由對(duì)任意恒成立，即實(shí)數(shù)恒成立；

設(shè)，，

∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增； 10分

又，∴數(shù)列最大項(xiàng)的值為

∴ 12分

考點(diǎn)：1、等比數(shù)列；2、裂項(xiàng)法求和；3、數(shù)列的單調(diào)性及最值.