Question

（1）設橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）的右焦點與拋物線y²=8x的焦點相同，離心率為

1

2

，求橢圓的標準方程．
（2）設雙曲線與橢圓

x2

27

+

y2

36

=1有相同的焦點，且與橢圓相交，一個交點A的縱坐標為4，求此雙曲線的標準方程．

Answer 1

（1）∵拋物線y²=8x的焦點坐標為F（2，0）
∴橢圓

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）的右焦點為F（2，0），可得m²-n²=4…①
∵橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

，∴

m2-n2

m2

=

1

4

…②
聯(lián)解①②，得m²=16，n²=12
∴該橢圓的標準方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）∵橢圓

x2

27

+

y2

36

=1經(jīng)過點A的縱坐標為4
∴設A（t，4），可得

t2

27

+

16

36

=1，解之得t=±

15

，A（±

15

，4）
∵橢圓

x2

27

+

y2

36

=1的焦點為（0，±3），雙曲線與橢圓

x2

27

+

y2

36

=1有相同的焦點，
∴雙曲線的焦點為（0，±3），因此設雙曲線方程為

y2

k

-

x2

9-k

=1（0＜k＜9）
將點A（±

15

，4）代入，得

16

k

-

15

9-k

=1，解之得k=4（舍負）
∴雙曲線方程為

y2

4

-

x2

5

=1