Question

（2013•資陽(yáng)模擬）如圖，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求點(diǎn)B在AM上，點(diǎn)D在AN上，點(diǎn)C在MN上，AB=3米，AD=2米．
（Ⅰ）要使擴(kuò)建成的花壇面積大于27米²，則AN的長(zhǎng)度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（Ⅱ）當(dāng)AN的長(zhǎng)度是多少米時(shí)，擴(kuò)建成的花壇面積最�。坎⑶蟪鲎钚∶娣e．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)AN=x（米），則x＞2．利用△DCN∽△AMN，可得

DN

AN

=

DC

AM

，得到AM=

3x

x-2

．于是花壇AMPN的面積S=AM•AN=

3x2

x-2

（x＞2）．由S＞27，解得即可．
（II）變形利用基本不等式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)AN=x（米），則x＞2．
∵△DCN∽△AMN，∴

DN

AN

=

DC

AM

，則

x-2

x

=

3

AM

，AM=

3x

x-2

．
∴花壇AMPN的面積S=AM•AN=

3x2

x-2

（x＞2）．
由S＞27，得

3x2

x-2

＞27，則x²-9x+18＞0，解得2＜x＜3或x＞6，
故AN的長(zhǎng)度范圍是2＜AN＜3或AN＞6（米）．
（Ⅱ）由S=

3x2

x-2

=

3[(x-2)2+4(x-2)+4]

x-2

=3[(x-2)+

4

x-2

+4]≥24，
當(dāng)且僅當(dāng)x-2=

4

x-2

，即x=4（米）時(shí)，等號(hào)成立．
∴當(dāng)AN的長(zhǎng)度是4米時(shí)，擴(kuò)建成的花壇AMPN的面積最小，最小值為24米²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)、一元二次不等式的解法、基本不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．