Question

設函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+

1

x

+2ax．
（Ⅰ）當a=0時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）當a≠0時，求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,分類討論,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）寫出a=0的f（x），求出導數(shù)，注意x＞0，分別令導數(shù)大于0，小于0，從而確定極值；
（Ⅱ）求出導數(shù)，并因式分解成

1

x2

（2x-1）（ax+1），討論a＞0，a＜0分a=-2，a＞-2，a＜-2三種情況，求出單調區(qū)間，應注意x＞0．

解答： 解：（Ⅰ）a=0時，f（x）=2lnx+

1

x

（x＞0），
∴f′（x）=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

，
f′（x）＞0，得x＞

1

2

；f′（x）＜0，得0＜x＜

1

2

，
則x=

1

2

是極小值點，且f（x）的極小值為2-2ln2，無極大值．
（Ⅱ）當a≠0時，f′（x）=

2-a

x

-

1

x2

+2a（x＞0）
=

1

x2

（2x-1）（ax+1），
當a＞0時，f′（x）＞0，得x＞

1

2

；f′（x）＜0，得0＜x＜

1

2

，
當a＜0時，①a=-2，f′（x）≤0，在x＞0恒成立；
②a＜-2，f′（x）＜0，得x＞

1

2

或0＜x＜-

1

a

；f′（x）＞0，得-

1

a

＜x＜

1

2

，
③-2＜a＜0，f′（x）＜0，得0＜x＜

1

2

或x＞-

1

a

；f′（x）＞0，得

1

2

＜x＜-

1

a

．
綜上，可得當a＞0時，f（x）的增區(qū)間為（

1

2

，+∞），減區(qū)間為（0，

1

2

），
當a=-2時，只有減區(qū)間（0，+∞），
當a＜-2時，增區(qū)間為（-

1

a

，

1

2

），減區(qū)間為（

1

2

，+∞），（0，-

1

a

），
當-2＜a＜0時，增區(qū)間為（

1

2

，-

1

a

），減區(qū)間為（0，

1

2

），（-

1

a

，+∞）．

點評：本題考查導數(shù)的綜合應用：求單調區(qū)間，求極值，特別注意函數(shù)的定義域，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．