Question

9．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E 是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE⊥面PAB
（Ⅱ）求證：BF∥面PDE．

Answer 1

分析 （I）證明DE⊥AB，DE⊥AP，利用線面垂直的判定定理，可得DE⊥面PAB．
（Ⅱ）證明FG與BE平行且相等，可得BF∥GE，利用線面平行的判定可得BF∥面．

解答 （本小題滿(mǎn)分10分）
解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，
∴△ABD為正三角形
E是AB的中點(diǎn)，DE⊥AB，-----------------------------------（2分）
PA⊥面ABCD，DE?平面ABCD，
∴DE⊥AP，-----------------------------------（4分）
∵AP∩AB=A，
∴DE⊥平面PAB，-----------------------------------（5分）
（Ⅱ）取PD的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，GE，-----------------------------------（6分）
∵F，G是中點(diǎn)，
∴FG∥CD且FG=$\frac{1}{2}$CD，
∴FG與BE平行且相等，
∴BF∥GE，-----------------------------------（8分）
∵GE?平面PDE，BF?平面PDE，-----------------------------------（9分）
∴BF∥面PDE．-----------------------------------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直，面面垂直，考查線面平行，考查了空間想象能力和推理論證能力，正確運(yùn)用判定定理是關(guān)鍵，屬于中檔題．