Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）討論f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）是否存在最小的正整數(shù)N，使得當(dāng)n≥N時，不等式恒成立．

Answer 1

解：（1）函數(shù)定義域為（-1，+∞），求導(dǎo)數(shù)得
記g（x）=2x²+2x+b…（3分）
①當(dāng)g（x）=0在（-1，+∞）上無解，即時，f（x）在（-1，+∞）單調(diào)遞增
②當(dāng)g（x）=0在（-1，+∞）有兩個不等實根，即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個不等實根，
則，即時，f（x）在單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
③當(dāng)g（x）在（-1，+∞）僅有一實根，f（x）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增…（9分）
（2）對于函數(shù)f（x）=x²-ln（x+1），令函數(shù)h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），
則，∴當(dāng)x∈[0，+∞）時，h′（x）＞0，
所以函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）時，恒有h（x）＞h（0）=0，
即x²＜x³+ln（x+1）恒成立．
取，則有恒成立．
顯然，存在最小的正整數(shù)N=1，使得當(dāng)n≥N時，不等式恒成立．
分析：（1）確定函數(shù)定義域為（-1，+∞），求導(dǎo)數(shù)，考查方程2x²+2x+b=0在（-1，+∞）上解的情況，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）對于函數(shù)f（x）=x²-ln（x+1），令函數(shù)h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），證明x∈（0，+∞）時，恒有h（x）＞h（0）=0，再取，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵．