Question

（2013•肇慶二模）已知四棱錐P-ABCD（圖1）的三視圖如圖2所示，△PBC為正三角形，PA垂直底面ABCD，俯視圖是直角梯形．
（1）求正視圖的面積；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積；
（3）求證：AC⊥平面PAB．

Answer 1

分析：（1）過A作AE∥CD，可得E是BC的中點，且BE=CE=AE=CD=1．正三角形PBC中，算出中線PE=

3

，由PA⊥平面ABCD，在Rt△PAE中，算出PA=

2

即為正視圖三角形的高長，由此結合BC=2即可求出正視圖的面積；
（2）由（1）的證明，結合題意可得四棱錐P-ABCD是以PA為高、底面ABCD是直角梯形的四棱錐，結合題中的數據即可算出四棱錐P-ABCD的體積；
（3）分別在在Rt△ABE、Rt△ADC中，算出AB=AC=

2

，結合BC=2利用勾股定理的逆定理證出AC⊥AB，再由PA⊥平面ABCD得PA⊥AC，根據線面垂直的判定定理即可證出AC⊥平面PAB．

解答：解：（1）過A作AE∥CD，根據三視圖可知，E是BC的中點，（1 分）
且BE=CE=1，AE=CD=1（2 分）
又∵△PBC為正三角形，∴BC=PB=PC=2，且PE⊥BC
∴PE²=PC²-CE²=3（3 分）
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE（4 分）
可得PA²=PE²-AE²=2，即PA=

2

（5 分）
因此，正視圖的面積為S=

1

2

×2×

2

=

2

（6 分）
（2）由（1）可知，四棱錐P-ABCD的高為PA，PA=

2

，（7 分）
底面積為S=

AD+BC

2

•CD=

1+2

2

×1=

3

2

（8分）
∴四棱錐P-ABCD的體積為VP-ABCD=

1

3

S•PA=

1

3

×

3

2

×

2

=

2

2

（10 分）
（3）∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥AC（11 分）
∵在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²=2，在Rt△ADC中，AC²=AD²+CD²=2（12 分）
∴BC²=4=AA²+AC²，可得△BAC是直角三角形      （13 分）
∴AC⊥AB．
由此結合AB∩PA=A，可得AC⊥平面PAB（14 分）

點評：本題給出四棱錐的三視圖的形狀，求證線面垂直并求四棱錐的體積，著重考查了線面垂直的判定與性質、錐體體積公式和三視圖的認識與理解等知識，屬于中檔題．