Question

設數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=b₁=6,a₂=b₂=4,a₃=b₃=3,且數(shù)列{a_n+1-a_n}(n∈N^*)是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n-2}(n∈N^*)是等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；

(2)是否存在k∈N^*,使a_k-b_k∈(0,)?若存在，求出k；若不存在，說明理由.

Answer 1

解析：(1)由已知a₂-a₁=-2,a₃-a₂=-1,d=-1-(-2)=1.

∴a_n+1-a_n=(a₂-a₁)+(n-1)·1=n-3.

n≥2,a_n=(a_n-a_n-1)+(a_n-1-a_n-2+…+(a₃-a₂)+(a₂-a₁)+a₁)

=(n-4)+(n-5)+…+(-1)+(-2)+6

=.

n=1也合適.

∴a_n=(n∈N^*).

又b₁-2=4,b₂-2=2.即q==，

∴b_n-2=(b₁-2)·（）^n-1,

即b_n=2+8·（）ⁿ.

∴數(shù)列{a_n}{b_n}的通項公式為：a_n=,b_n=2+()^n-3.

(2)設f（k）=a_k-b_k=k²-k+7-8·（）^k=(k-)²+-8·（）^k.

當k≥4時（k-）²+為k的增函數(shù)，-8·（）^k也為k的增函數(shù)，

而f(4)= .

∴當k≥4時a^k-b^k≥.

又f(1)=f(2)=f(3)=0,

∴不存在k，使f(k)∈(0,).