Question

已知函數f（x）=cos²x+2tsinxcosx-sin²x，
（1）當t=1時，若f(

α

2

)=

3

4

，試求sin2α；
（2）若函數f（x）在區(qū)間(

π

12

，

π

6

]上是增函數，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當t=1時，化簡函數得f（x）=cos2x+sin2x，從而f(

α

2

)=sinα+cosα=

3

4

，將其兩邊平方，結合二倍角的正弦公式和同角三角函數的關系，可得sin2α的值；
（2）化簡函數得f（x）=cos2x+tsin2x，從而得到f'（x）=-2sin2x+2tcos2x．由函數單調性與導數關系，得f'（x）≥0在區(qū)間(

π

12

，

π

6

]上恒成立，注意到cos2x＞0，將不等式變量分離并討論tan2x的最值，即可得到實數t的取值范圍．

解答：解：（1）當t=1時，函數f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x=cos2x+sin2x，…（3分）．
∵f(

α

2

)=

3

4

，∴sinα+cosα=

3

4

，
兩邊同時平方，并整理得：2sinαcosα=-

7

16

，…（5分）
由此可得sin2α=-

7

16

…（6分）
（2）化簡函數，得f（x）=cos2x+tsin2x
∴f'（x）=-2sin2x+2tcos2x
函數f（x）在區(qū)間(

π

12

，

π

6

]上是增函數，
等價于不等式f'（x）≥0在區(qū)間(

π

12

，

π

6

]上恒成立，
即f'（x）=-2sin2x+2tcos2x≥0在區(qū)間(

π

12

，

π

6

]上恒成立，…（9分）
∵2x∈（

π

6

，

π

3

]為銳角，cos2x是正數，∴t≥tan2x在在區(qū)間(

π

12

，

π

6

]上恒成立，
而函數y=tan2x在區(qū)間上的最大值為tan(2•

π

6

)=

3

，所以t≥

3

∴實數t的取值范圍是[

3

，+∞）．…（12分）．

點評：本題給出三角函數表達式，討論函數的單調性并求參數取值范圍，著重考查了二倍角的正弦、同角三角函數的關系和利用導數研究函數的單調性等知識，屬于基礎題．