Question

【題目】設(shè)函數(shù)， （）．

（Ⅰ）若直線和函數(shù)的圖象相切，求的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若存在正實(shí)數(shù)，使對(duì)任意，都有恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)，求切線方程，根據(jù)直線重合求解即可；（Ⅱ）不等式等價(jià)于，即．設(shè)，研究函數(shù)的單調(diào)性，討論參數(shù) ，分別令 即可.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得，

∴切線方程為，即．

由已知和為同一直線，所以， ，

令，則，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

∴，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴， ．

（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）結(jié)合函數(shù)的圖象知：

存在，使得對(duì)于任意，都有，

則不等式等價(jià)于，即．

設(shè)， ，

由，得；由，得．

若， ，∵，∴在上單調(diào)遞減，

∵，

∴對(duì)任意， ，與題設(shè)不符．

若， ， ，∴在上單調(diào)遞增，

∵，∴對(duì)任意， 符合題設(shè)，

此時(shí)取，可得對(duì)任意，都有．

②當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）結(jié)合函數(shù)的圖象知（），

對(duì)任意都成立，

∴等價(jià)于．

設(shè)，則w，

由，得； ，得，

∴在上單調(diào)遞減，注意到，

∴對(duì)任意， ，不符合題設(shè)．

綜上所述， 的取值范圍為．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù).本題是利用方法④求得的范圍的.