Question

已知函數(shù)f(x)=ax³+bx²+cx+d,其中a,b,c是以d為公差的等差數(shù)列,且a＞0,d＞0.設x₀為f(x)的極小值點,在［1-,0］上,f′(x)在x₁處取得最大值,在x₂處取得最小值,將點(x₀,f(x₀)),(x₁,f′(x₁)),(x₂,

f′(x₂))依次記為A,B,C.

(1)求x₀的值;

(2)若△ABC有一邊平行于x軸,且面積為2+,求a,d的值.

Answer 1

思路分析:本題考查函數(shù)的導數(shù),函數(shù)的極值的判定,閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值,等差數(shù)列等基礎知識的綜合應用,還考查應用數(shù)形結合的數(shù)學思想分析問題,解決問題的能力.

(1)解:∵2b=a+c,

∴f′(x)=ax²+2bx+c=ax²+(a+c)x+c=(x+1)(ax+c).

令f′(x)=0,得x=-1或x=.

∵a＞0,d＞0,

∴0＜a＜b＜c.

∴＞1,＜-1.

當＜x＜-1時,f′(x)＜0;

當x＞-1時,f′(x)＞0.

∴f(x)在x=-1處取得最小值,即x₀=-1.

(2)解法一:∵f′(x)=ax²+2bx+c(a＞0),

∴f′(x)的圖象開口向上,對稱軸方程為x=;

由＞1,1--()=1＜0,

故∈［1-,0］且|1--()|-||=1＞0.

∴f′(x)在［1-,0］上的最大值為f′(0)=c,

即x₁=0.

當x=時,f′(x)取得最小值為f′(),即x₂=.

f′(x)=ax²+2bx+c=ax²+2(a+d)x+(a+2d),f′()=f′()=.

∵f(x₀)=f(-1)=-a,

∴A(-1,-a),B(0,c),C(,).

由△ABC有一條邊平行于x軸,知AC平行于x軸,

∴-a=,即a²=3d².①

又由△ABC的面積為2+,得(-1+)·(c+)=2+.

利用b=a+d,c=a+2d,得d+=2+.②

聯(lián)立①②可得d=3,a=.

解法二:∵f′(x)=ax²+2bx+c(a＞0),

∴f′(1-)=0,f′(0)=c.

又c＞0,知f(x)在［1-,0］上的最大值為f′(0)=c,

即x₁=0.又由＞1,知∈［1-,0］,

∴當x=時,f′(x)取得最小值為f′()=,即x₂=.

∵f(x₀)=f(-1)=-a,

∴A(-1,-a),B(0,c),C(,).

由△ABC有一條邊平行于x軸,知AC平行于x軸,

∴-a=,即a²=3d².①

又由△ABC的面積為2+,

得(-1+)·(c+)=2+.

利用b=a+d,c=a+2d,

得d+=2+.②

聯(lián)立①②可得d=3,a=.