Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（1）、當(dāng)f（x）奇函數(shù)時(shí)求a的值
（2）、當(dāng)a=1時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）過(guò)點(diǎn)（0，f（0））的切線(xiàn)方程；（4分）
（3）、當(dāng)a≠0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；（6分）

Answer 1

解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x），
∴x（-x-a）²=x（x-a）²
∵x∈R
∴（-x-a）²=（x-a）²恒成立
∴a=0
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，得f（0）=0，且f'（x）=-3x²+4x-1，
設(shè)切點(diǎn)（x₀，-x₀（x₀-1）²）
所以，切線(xiàn)方程y+x₀（x₀-1）²=（-3x₀²+4x₀-1）（x-x₀）
因?yàn)椋?，0）在曲線(xiàn)上代入求得
所以所求的切線(xiàn)方程為：y=-x；y=0；．
（3）f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x
f'（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）．
令f'（x）=0，解得或x=a．
由于a≠0，以下分兩種情況討論．
（1）若a＞0，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）的正負(fù)如下表：

x				a	（a，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函數(shù)f（x）在處取得極小值，且；
函數(shù)f（x）在x=a處取得極大值f（a），且f（a）=0．
（2）若a＜0，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）的正負(fù)如下表：

x	（-∞，a）	a
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值f（a），且f（a）=0；
函數(shù)f（x）在處取得極大值，且．
分析：（1）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），代入化簡(jiǎn)可得a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，得f（0）=0，且f'（x）=-3x²+4x-1，設(shè)切點(diǎn)（x₀，-x₀（x₀-1）²）
可得切線(xiàn)方程y+x₀（x₀-1）²=（-3x₀²+4x₀-1）（x-x₀），將（0，0）代入，即可求得所求的切線(xiàn)方程；
（3）求導(dǎo)函數(shù)，并令f'（x）=0，解得或x=a．對(duì)a分兩種情況討論，利用函數(shù)在導(dǎo)數(shù)為0的附近，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，從而確定函數(shù)f（x）的極小值與極大值．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查切線(xiàn)方程，考查函數(shù)的極值，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性．