Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2

3x+1

（a∈R）．
①是否存在實數(shù)a使得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？若存在，請說明理由；
②判斷函數(shù)的單調性，并利用定義加以證明．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質,函數(shù)單調性的性質

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質及應用

分析：①由題意，f（0）=0，從而解出a，再驗證是否是奇函數(shù)即可；
②先判斷后證明，利用單調性的定義證明．

解答： 解：①若存在實數(shù)a使得函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，
則滿足條件f（0）=0，
則a=1．
又∵當a=1時，f（x）=1-

2

3x+1

為R上的奇函數(shù)，
∴存在實數(shù)a=1，使函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)．
②函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．證明如下
對任意x∈R都有3^x+≠0，∴f（x）的定義域是R，
設任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

，
∵y=3^x 在R上是增函數(shù)，
∴0＜3x1＜3x2，
∴

2(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

＜0，
∴f（x）是R上的增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的判斷與單調性的證明，屬于基礎題．