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19.已知函數(shù)f(x)=|x|+|2x-3|,g(x)=3x2-2(m+1)x+154;
(1)求不等式f(x)≤6的解集;
(2)若對任意的x∈[-1,1],g(x)≥f(x),求m的取值范圍.

分析 (1)通過討論x的范圍求出不等式組的解集,取并集即可;(2)通過討論x的范圍,得到關(guān)于m的不等式,解出即可.

解答 解:(1)原不等式等價于{x32x+2x36{0x32x2x36{x0x2x36,
解得32x30x32或-1≤x<0.
即不等式的解集為{x|-1≤x≤3}.
(2)①當(dāng)x=0時,易知成立:當(dāng)0<x≤1時,3x32m+1x+154x+32x,
3x+34x2m+1在0≤x≤1時恒成立.
因為0≤x≤1,所以當(dāng)且僅當(dāng)x=12時,3x+34x取到最小值3,
故3≥2m+1,即m≤1.
②當(dāng)-1≤x<0時,3x22m+1x+154x+32x
3|x|+34|x|2m+1在-1≤x<0時恒成立;
因為-1≤x<0,所以當(dāng)且僅當(dāng)x=123x+34x取到最小值3,
故3≥-2m+1,即m≥-1,
綜上可知,m的取值范圍為[-1,1].

點評 本題考查了解絕對值不等式問題,考查分類討論思想,是一道中檔題.

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