Question

設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的半焦距為c，直線l過(guò)（a，0），（0，b）兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線l的距離為

3

4

c，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

分析：先求出直線l的方程，利用原點(diǎn)到直線l的距離為

3

4

c，及又c²=a²+b²，求出離心率的平方e²，進(jìn)而求出離心率．

解答：解：∵直線l過(guò)（a，0），（0，b）兩點(diǎn)，∴直線l的方程為：

x

a

+

y

b

=1，即 bx+ay-ab=0，
∵原點(diǎn)到直線l的距離為

3

4

c，∴

|ab|

a2+b2

=

3 c

4

．
又c²=a²+b²，∴3e⁴-16e²+16=0，∴e²=4，或 e²=

4

3

．
∵a＞b＞0，∴c²=a²+b²＜2a²，∴e=

c

a

＜

2

，故離心率為 e=

2

3

3

；
故答案為

2

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．