Question

3．下列函數(shù)中最小值為2的是（　　）

• A． y=log₂x+log_x2（0＜x＜1）
• B． y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$
• C． y=e^x+e^-x
• D． y=x+$\frac{1}{x}$

Answer 1

分析 A．由0＜x＜1，可得：y=log₂x+log_x2＜0，即可判斷出正誤．
B．y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$＞2，即可判斷出正誤．
C．y=${e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}$$≥2\sqrt{{e}^{x}•\frac{1}{{e}^{x}}}$=2，即可判斷出正誤．
D．x＜0時(shí)，y＜0，最小值不可能是2．

解答 解：A．∵0＜x＜1，∴y=log₂x+log_x2＜0，因此最小值不可能是2．
B．y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$＞2，因此最小值不可能是2．
C．y=${e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}$$≥2\sqrt{{e}^{x}•\frac{1}{{e}^{x}}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，因此y的最小值為2，正確．
D．x＜0時(shí)，y＜0，最小值不可能是2．
綜上可得：函數(shù)最小值為2的是C．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．