Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²-3a²x+2a-1（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=x²+4x+9a³+7，且對任意實數(shù)x₁，x₂∈（-∞，a），不等式f（x₁）＜g（x₂）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）f′（x）=x²+2ax-3a²=（x+3a）（x-a）（a＞0）．由a＞0，可知a＞-3a．分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（II）對任意實數(shù)x₁，x₂∈（-∞，a），不等式f（x₁）＜g（x₂）恒成立?x∈（-∞，a），f（x）_max＜g（x）_min．分別利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)研究其單調(diào)性極值最值即可．

解答： 解：（I）f′（x）=x²+2ax-3a²=（x+3a）（x-a）（a＞0）．
∵a＞0，∴a＞-3a．
令f′（x）＞0，解得x＞a或x＜-3a；令f′（x）＜0，解得-3a＜x＜a．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-3a），（a，+∞）；f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-3a，a）．
（II）對任意實數(shù)x₁，x₂∈（-∞，a），不等式f（x₁）＜g（x₂）恒成立?x∈（-∞，a），f（x）_max＜g（x）_min．
由（I）可知：f（x）在區(qū)間（-∞，-3a）單調(diào)遞增；在區(qū)間（-3a，a）上單調(diào)遞減．
∴f（x）_max=f（-3a）=-9a³+9a³+9a³+2a-1=9a³+2a-1．
g（x）=（x+2）²+9a³+3≥9a³+3，∴當(dāng)x=-2時，g(x)min=9a3+3．
∴9a³+2a-1≤9a²+3，又a＞0，解得0＜a≤2．
∴a的取值范圍是（0，2]．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．