Question

已知點A（-2，0）和圓0：x²+y²=4，AB是圓O的直經(jīng)，從左到右M、O和N依次是AB的四等分點，P（異于A、B）是圓0上的動點，PD⊥AB，交AB于D，

PE

=

1

3

ED

，直線PA與BE交于點C．
（1）求點C的軌跡曲線E的方程；
（2）若點Q、R是曲線E上不同的點，且PQ、PR與曲線E相切，求△OQR面積的最小值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由已知得B（2，0），M（-1，0），N（1，0），設P（x₀，y₀），C（x，y），則E（x₀，

3

4

y₀），由直線PA與BE交于C，故x≠±2，

y

x+2

=

y0

x0+2

，①且

y

x-2

=

3 4 y0

x0-2

，②，①②相乘得點C的軌跡曲線E的方程．
（2）設Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），設直線QR的方程為y=kx+m，直線QR的方程為

x0x

4

+

y0y

3

=1，由y=kx+m與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1(x≠2)聯(lián)立，得（4k²+3）x²-8kmx+4m²-12=0，由此利用韋達定理、點到直線距離公式結合已知條件能求出△OQR面積的最小值．

解答： 解：（1）∵點A（-2，0）和圓O：x²+y²=4，AB是圓O的直經(jīng)，
∴B（2，0），∵從左到右M、O和N依次是AB的四等分點，∴M（-1，0），N（1，0），
設P（x₀，y₀），C（x，y），則E（x₀，

3

4

y₀），
直線PA與BE交于C，故x≠±2，

y

x+2

=

y0

x0+2

，①且

y

x-2

=

3 4 y0

x0-2

，②
①②相乘得點C的軌跡曲線E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1(x≠2)．…（5分）
（2）設Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），又因為點P（異于A，B） 是圓O上的動點，
故直線QR斜率存在，設直線QR的方程為y=kx+m，
則PQ、PR的方程分別為

xx1

4

+

yy1

3

=1，

xx2

4

+

yy2

3

=1，
所以直線QR的方程為

x0x

4

+

y0y

3

=1，
比較系數(shù)，得k=-

3x0

4y0

，m=

3

y0

，
即y₀=

3

m

，x₀=-

4k

m

y0=

3

m

，
∴4m²=16k²+9，③…（7分）
另一方面，由y=kx+m與橢圓

x2

4

+

y2

3

=1(x≠2)聯(lián)立，
得（4k²+3）x²-8kmx+4m²-12=0，
于是得x₁+x₂=

8km

4k2+3

，④，x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

，⑤…（9分）
因為O到QR的距離為d=

|m|

k2+1

，
所以△OQR的面積：S=

1

2

|QR|d=

|m|

2

|x₁-x₂|，
將③④⑤代入消去k，得S=

12|m|

4m2+3

=

12

4|m|+ 3 |m|

，其中|m|=|

3

y0

|∈[

3

2

，+∞）．…（11分）
∴f（m）=

12

4|m|+ 3 |m|

在[

3

2

，+∞）是減函數(shù)，于是當t=|m|=

3

2

時，
S_min=[f（t）]_min=f（

3

2

）=

3

2

．…（13分）

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．