Question

在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是線段B₁D₁上一點．
（1）求證：B₁D₁∥平面A₁BD；
（2）求點E到平面A₁BD的距離．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明B₁D₁∥平面A₁BD．
（2）由已知得E到平面A₁BD的距離d等于B₁到平面A₁BD的距離d'，由此利用向量法能求出點E到平面A₁BD的距離．

解答： （1）證明：建立如圖直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），D（0，1，0），A₁（0，0，1），
B₁（1，0，1），D₁（0，1，1），

BD

=(-1，1，0)，

B1D1

=(-1，1，0)
∴

BD

=

B1D1

故BD∥B₁D₁
又B₁D₁?平面A₁BD，BD?平面A₁BD，
∴B₁D₁∥平面A₁BD．
（2）解：∵B₁D₁∥平面A₁BD且E在B₁D₁上，
∴E到平面A₁BD的距離d等于B₁到平面A₁BD的距離d'，

A1B1

=(1，0，0)，
設(shè)平面A₁BD的法向量

n

=(x，y，z)，

BA1

=（-1，0，1），

BD

=(-1，1，0)，
則

-x+z=0 -x+y=0

，取x=1，得

n

=（1，1，1），
∴d=d′=

| A1B1 • n |

| n |

=

1

3

=

3

3

．
∴點E到平面A₁BD的距離為

3

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．