Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

x

，g（x）=x+1，對任意x∈[1，+∞），都有f（mx）≤mg（x）恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

[

2

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：通過已知條件，得到m與x的不等式，通過m＞0與m＜0，分別借助二次函數(shù)求出m的范圍即可．

解答：解：函數(shù)f(x)=

1

x

，g（x）=x+1，對任意x∈[1，+∞），都有f（mx）≤mg（x）恒成立，
所以

1

mx

≤m(x+1)，
①當(dāng)m＞0時，上式化為m²x（x+1）-1≥0，即m²x²+m²x-1≥0，
函數(shù)y=m²x²+m²x-1的對稱軸x=-

1

2

，開口向上，
對任意x∈[1，+∞），都有f（mx）≤mg（x）恒成立，
必有f（1）≥0，即2m²-1≥0，因為m＞0解得m∈[

2

2

，+∞)．
②當(dāng)m＜0時，因為x∈[1，+∞），所以

1

mx

≤m(x+1)，
即m²x²+m²x-1≤0，函數(shù)y=m²x²+m²x-1的對稱軸x=-

1

2

，開口向上，
對任意x∈[1，+∞），都有f（mx）≤mg（x）恒成立，
顯然不成立，
綜上實數(shù)m的取值范圍是：[

2

2

，+∞)．

點評：本題考查恒成立問題的應(yīng)用，分類討論與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．