Question

8．已知過(guò)拋物線x²=4y的對(duì)稱軸上一點(diǎn)P（0，m）（m＞0）作直線l，l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若角∠AOB為鈍角（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若P為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且與l垂直的直線l′與與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M、N．求證：直線MN必過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線方程，代入拋物線方程，由韋達(dá)定理可知：x_l+x₂=4k，x₁x₂=-4m．由角∠AOB為鈍角，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求得m的取值范圍；
（2）若P為焦點(diǎn)，則m=1，P（0，1），l：y=kx+1，由（1）求得M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線l′過(guò)點(diǎn)P且與l垂直，求得N點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線的MN的斜率，代入即可求得直線MN的方程，整理可得：y=$\frac{{k}^{2}-1}{k}$x+3，可知直線MN必過(guò)定點(diǎn)（0，3）．

解答 解：（1）設(shè)l：y=kx+m，代入拋物線x²=4y的方程化簡(jiǎn)得x²-4ky-4m=0，
∵m＞0，
∴△=16k²+16m＞0恒成立
設(shè)A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），則x_l+x₂=4k，x₁x₂=-4m．
又角∠AOB為鈍角，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜0，
則（1+k²）（-4m）+km•4k+m²＜0，即m²-4m＜0，
∵m＞0，解得0＜m＜4；
（2）證明：若P為焦點(diǎn)，則m=1，P（0，1），l：y=kx+1，
由（1）可知，x_m=2k，y_m=2k²+1，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2k，2k²+1），
∵直線l′過(guò)點(diǎn)P且與l垂直，可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-$\frac{2}{k}$，$\frac{2}{{k}^{2}}$+1），
直線MN的斜率為$\frac{2{k}^{2}-\frac{2}{{k}^{2}}}{2k+\frac{2}{k}}$=k-$\frac{1}{k}$，
直線MN的方程為y-（2k²+1）=（k-$\frac{1}{k}$）（2-2k），即
y=$\frac{{k}^{2}-1}{k}$x-2k²+2+（2k²+1）=$\frac{{k}^{2}-1}{k}$x+3，
令x=0，得y=3，
故直線MN過(guò)定點(diǎn)（0，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式及直線方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．