Question

（2008•河西區(qū)三模）已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-4（其中a為常數(shù)）
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=2代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，取x=1得到切線的斜率，同時求出切點，利用直線方程的點斜式得答案；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，得其導(dǎo)函數(shù)在[0，2]上大于等于0恒成立，分離參數(shù)后由單調(diào)性求最值，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時，f（x）=x³+2x²-4，f'（x）=3x²+4x，k=f'（1）=7
又f（1）=-1，∴曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y+1=7（x-1），即7x-y-8=0；
（2）f'（x）=3x²+2ax，要使f（x）在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)
只要f'（x）=3x²+2ax＞0在[0，2]上恒成立
即a＞-

3x

2

在[0，2]上恒成立
因為y=-

3x

2

在[0，2]上單調(diào)遞減，而y=-

3x

2

在[0，2]上的最大值為0，∴a＞0
又a=0時，f'（x）=3x²在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)．
∴綜上得a≥0

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線在某點處的切線方程，考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，考查了分離參數(shù)法，訓(xùn)練了利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題．