已知數(shù)列{}的首項(xiàng)=5，前項(xiàng)和為，且

（I）證明數(shù)列{+1}是等比數(shù)列；

（II）令，求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)并比較2與的大小.

解：（Ⅰ）由已知

∴時(shí)，

兩式相減，得

，

即，

從而，

當(dāng)時(shí)

∴

又，∴，

從而     

故總有，、

又∵，

∴

從而

即是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。

（II）由（I）知。

∵

∴。

從而    

=

=

=

=

=。

由上  

      （*）

當(dāng)時(shí)，（*）式=0

∴；

當(dāng)時(shí)，（*）式=－12<0

∴

當(dāng)時(shí)，

又

∴

即（*）>0

從而

（或用數(shù)學(xué)歸納法：時(shí)，猜想   

由于，只要證明。事實(shí)上，

      1*     當(dāng) 時(shí)，

      不等式成立，

      2*  設(shè)時(shí)（k≥3），有

      則   

           

            .

∵ ，∴.

從而

          

即 時(shí)，亦有.

綜上1*、2*知，  對(duì)，n∈N* 都成立。

∴時(shí)，有）

綜上    n=1時(shí)，

        n=2時(shí)，

        n≥3時(shí)，

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：閱讀理解

閱讀下面一段文字：已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，如果當(dāng)n≥2時(shí)，an-an-1=2，則易知通項(xiàng)an=2n-1，前n項(xiàng)的和Sn=n2．將此命題中的“等號(hào)”改為“大于號(hào)”，我們得到：數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，如果當(dāng)n≥2時(shí)，an-an-1＞2，那么an＞2n-1，且Sn＞n2．這種從“等”到“不等”的類(lèi)比很有趣．由此還可以思考：要證Sn＞n2，可以先證an＞2n-1，而要證an＞2n-1，只需證an-an-1＞2（n≥2）．結(jié)合以上思想方法，完成下題：
已知函數(shù)f（x）=x3+1，數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f（an），若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，求證：Sn≥2n-1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a，an=
12
an-1（n∈N*，n≥2），若bn=an-2（n∈N*）
（I）問(wèn)數(shù)列{bn}是否構(gòu)成等比數(shù)列？并說(shuō)明理由．
（II）若已知a1=1，設(shè)數(shù)列{an•bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=
2
3
，an+1=
2an
an+1
，n∈N+
（Ⅰ）設(shè)bn=
1
an
-1證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）數(shù)列{
n
bn
}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=5，前n項(xiàng)和為Sn，
且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）令f（x）=a1x+a2x2+…+anxn，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)f'（1）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a，其中a∈N*，an+1=
an
3
，an=3l，l∈N*
an+1，an≠3l，l∈N*
，令集合A={x|x=an，n∈N*}．
（1）若a3是數(shù)列{an}中首次為1的項(xiàng)，請(qǐng)寫(xiě)出所有這樣數(shù)列的前三項(xiàng)；
（2）求證：對(duì)?k∈N*，恒有ak+3≤
1
3
ak+2成立；
（3）求證：{1，2，3}⊆A．

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