Question

4．在平面直角坐標系 xOy中，已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點為F，P是拋物線 E上位于第一象限內(nèi)的任意一點，Q是線段 PF上的點，且滿足$\overrightarrow{OQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OF}$，則直線 OQ的斜率的最大值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量坐標運算求得Q點坐標，根據(jù)直線的斜率公式，及基本不等式的性質(zhì)即可求得直線的斜率公式．

解答 解：由拋物線E：y²=2px焦點F（$\frac{p}{2}$，0），設(shè)P（$\frac{{y}_{1}^{2}}{2p}$，y₁），y₁＞0，Q（x，y），
由$\overrightarrow{OQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OP}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OF}$，則（x，y）=$\frac{2}{3}$（$\frac{{y}_{1}^{2}}{2p}$，y₁）+$\frac{1}{3}$（$\frac{p}{2}$，0），
$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{y}_{1}^{2}}{3p}+\frac{p}{6}}\\{y=\frac{2}{3}{y}_{1}}\end{array}\right.$，
則直線OQ的斜率k，則$\frac{1}{k}$=$\frac{x}{y}$=$\frac{\frac{{y}_{1}^{2}}{3p}+\frac{p}{6}}{\frac{2}{3}{y}_{1}}$=$\frac{2{y}_{1}^{2}+{p}^{2}}{4{y}_{1}p}$≥$\frac{2\sqrt{2}{y}_{1}p}{4{y}_{1}p}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當且僅當$\sqrt{2}$y₁=p，取等號，
∴k≤$\sqrt{2}$，
∴直線 OQ的斜率的最大值$\sqrt{2}$，
故選D．

點評 本題考查向量的坐標運算，直線的斜率公式，基本不等式的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．