Question

已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)Q（0，2），P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M滿足：，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓與雙曲線公焦點(diǎn)，可知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)在橢圓C上，根據(jù)橢圓的定義，我們可以求出a的值，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用b²=a²-c²，可以求出b²，從而可求橢圓C的方程；
（2）利用點(diǎn)M滿足：，可得動(dòng)點(diǎn)M與動(dòng)點(diǎn)P之間的坐標(biāo)關(guān)系，利用點(diǎn)P滿足橢圓方程，我們可以求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．
解答：解：（1）由已知得雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
由橢圓的定義得|AF₁|+|AF₂|=2a，∴，∴
而c²=4，∴b²=a²-c²=18-4=14
∴所求橢圓方程為
（2）設(shè)M（x，y），P（x，y），由得（x，y-2）=（x-x，y-y）
∴而P（x，y）在橢圓上
即
即為所求M的軌跡方程．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查代入法求軌跡方程，解題的關(guān)鍵是利用向量關(guān)系，尋求動(dòng)點(diǎn)之間的坐標(biāo)關(guān)系．