Question

若雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與直線y=3x無公共點，則離心率e的取值范圍是（　�。�

• A．(1，

  10

  ]
• B．(1，

  10

  )
• C．(

  10

  ，+∞)
• D．（1，3）

Answer 1

分析：將雙曲線的方程

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與直線方程y=3x聯(lián)立方程組，得到：（b²-9a²）x²=a²•b²，顯然當b²-9a²≤0時方程無解，即兩曲線無公共點，從而可求得離心率e的取值范圍．

解答：解：由

x2 a2 - y2 b2 =1 y=3x

得：（b²-9a²）x²=a²•b²，
∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與直線y=3x無公共點，
∴b²-9a²≤0，在雙曲線中，c²=b²+a²，
∴c²-a²-9a²≤0，即c²≤10a²，兩端同除以a²得：
(

c

a

)2≤10，即e²≤10，又e＞1，
∴1＜e≤

10

．
故選A．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，關鍵是將兩曲線方程聯(lián)立得到（b²-9a²）x²=a²•b²后對b²-9a²≤0的分析，也是難點所在，考查了學生分析與轉化的能力，屬于中檔題．