Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值為m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c是正實(shí)數(shù)，且滿足a+b+c=m，求證：a²+b²+c²≥3．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,絕對(duì)值不等式的解法

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）|x+1|+|x-2|≥（x+1）（x-2）=3，即可求m的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b+c=3，再由三元柯西不等式即可得證．

解答： （Ⅰ）解：因?yàn)閨x+1|+|x-2|≥（x+1）（x-2）=3
當(dāng)且僅當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，等號(hào)成立，
所以f（x）的最小值等于3，即m=3
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知a+b+c=3，又a，b，c是正實(shí)數(shù)，
所以（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=9，
所以a²+b²+c²≥3

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查函數(shù)的最值的求法，考查柯西不等式的運(yùn)用：證明不等式，屬于中檔題．