Question

已知過點(diǎn)M（a，0）（a＞0）的動(dòng)直線l交拋物線y²=4x于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱，
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求證：∠ANM=∠BNM；
（2）對(duì)于給定的正數(shù)a，是否存在直線l′：x=m，使得l′被以AM為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)為定值？如果存在，求出直線l′的方程，如果不存在，試說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)l：x-1=ny，代入y²=4x得y²-4ny-4=0，根據(jù)韋達(dá)定理，表示出NB和NA斜率，求得斜率互為相反數(shù)，故∠ANM=∠BNM；
（2）假設(shè)滿足條件的直線l存在，直線l'被圓O'截得的弦為EF，求出|EF|，分類討論，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：設(shè)l：x-1=ny，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
代入y²=4x得y²-4ny-4=0，
∴y₁+y₂=4n，y₁y₂=-4
∴k_AN+k_BN=

y1

x1+1

+

y2

x2+1

=

( y1y2 4 +1)(y1+y2)

(x1+1)(x2+1)

=0，
∴∠ANM=∠BNM．
（2）解：設(shè)點(diǎn)A（x，y），則以AM為直徑的圓的圓心為O（

x+a

2

，

1

2

），
假設(shè)滿足條件的直線l存在，直線l'被圓O'截得的弦為EF，
則|EF|²=4[（

x+a

2

-a）²+

y2

4

-（m-

x+a

2

）²]
=x²-2ax+a²+4x-4m²+4m（x+a）-x²-2ax-a²
=（4m-4a+4）x+4ma-4m²
弦長(zhǎng)|EF|為定值，則4m-4a+4=0，即m=a-1，
此時(shí)|EF|²=4m（a-m）=4（a-1），
所以當(dāng)a＞1時(shí)，存在直線l：x=a-1，截得的弦長(zhǎng)為2

a-1

當(dāng)0＜a≤1時(shí)，不存在滿足條件的直線l'．

點(diǎn)評(píng)：本題考查弦長(zhǎng)的計(jì)算和直線與拋物線位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意分類討論思想和弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．