Question

圓心在第一象限，且半徑為1的圓與拋物線y²=2x的準(zhǔn)線和雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1的漸近線都相切，則圓心的坐標(biāo)是

（

1

2

，

13

8

） 或（

1

2

，

7

8

）

．

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出漸近線方程，結(jié)合條件設(shè)出圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求得參數(shù)，從而得到所求．

解答：解：由雙曲線方程可得a=4，b=3，c=5，
漸近線方程y=

3x

4

和y=-

3x

4

，即3x-4y=0和3x+4y=0．
拋物線y²=2x的準(zhǔn)線為：x=-

1

2

，
根據(jù)圓心在第一象限，且半徑為1的圓與拋物線y²=2x的準(zhǔn)線相切，
設(shè)圓心A的坐標(biāo)為（

1

2

，m），（m＞0）．
①當(dāng)圓與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1的漸近線3x-4y=0相切時，
圓心A到直線3x-4y=0的距離即為圓的半徑1，
即

|3× 1 2 -4m|

16+9

=1，⇒m=

13

8

；
②當(dāng)圓與雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1的漸近線3x+4y=0相切時，
圓心A到直線3x+4y=0的距離即為圓的半徑1，
即

|3× 1 2 +4m|

16+9

=1，⇒m=

7

8

；
則圓心的坐標(biāo)是：（

1

2

，

13

8

） 或（

1

2

，

7

8

）．
故答案為：（

1

2

，

13

8

） 或（

1

2

，

7

8

）．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求半徑是解題的關(guān)鍵．